Physique mathématique linéaire
Mes travaux s'inscrivent essentiellement tous dans le cadre de la physique mathématique linéaire. Principalement, ils concernent l'étude des collisions moléculaires dans le cadre de la mécanique quantique non relativiste. La prépublication 5, cependant, traite d'un problème de mécanique statistique classique, la prépublication 10 concerne l'équation d'Helmholtz, les prépublications 11 et 15 traite une question de théorie spectrale abstraite et la prépublication 14 étudie la densité électronique d'un état propre d'une molécule.
L'axe principal de ma recherche vise à valider l'approximation de Born-Oppenheimer (1927) pour les collisions moléculaires, c'est-à-dire dans le cadre de la théorie (stationnaire) de la diffusion (ou scattering). Des résultats positifs sont obtenus dans le prépublications 1, 2, 3 et 4. Dans la prépublication 3, on traite les interactions coulombiennes.
Les prépublications 7, 8, 9 et 13 sont aussi motivées par l'étude de l'approximation de Born-Oppenheimer. Au lieu de travailler sur l'opérateur physique décrivant les molécules, on le remplace par un opérateur de Schrödinger à potentiel matriciel (les degrés de libertés électroniques étant cachés dans la structure matricielle). Cette opération permet de simplifier l'étude de l'influence des croisements de niveaux électroniques sur les collisions. Dans la prépublication 8, le cas scalaire est repris et une alternative à la version semi-classique de la théorie du commutateur de Mourre, dont la prépublication 7 montre les limites dans le cas matriciel, y est développée. Cette nouvelle approche est appliquée avec succès au cas matriciel dans les prépublications 9 et 13.
Dans la prépublication 5, on étudie les correlations pour un certain système de spins (continus) et on établit dans certaines conditions l'absence de transition de phase pour ce système.
Dans la prépublication 10, on établit un contrôle de la taille de la solution de l'équation d'Helmholtz avec paramètre d'absoption. Ce contrôle a une certaine uniformité et s'obtient par une méthode inspirée de la prépublication 8. Il en est de même de la prépublication 12 qui généralise la prépublication 8 au cas où les interactions ont des singularités coulombiennes.
Dans la prépublication 11, une nouvelle approche et interprétation de la puissante théorie du commutateur de Mourre est présentée. Cette théorie donne des informations sur la dynamique de systèmes quantiques. Ce travail est prolongé dans la prépublication 15 où une nouvelle théorie est présentée. Cette dernière s'applique à une certaine classe d'opérateur de Schrödinger avec potentiel oscillant (en donnant un résultat nouveau) et il est montré que la théorie de Mourre traditionnelle ne s'y applique pas.
Dans la prépublication 14, on redémontre la régularité analytique en dehors des positions des noyaux de la densité électronique d'un état lié d'une molécule (à noyaux fixes). Les interactions sont coulombiennes.
Liste numérotée des prépublications