Analyse semi-classique

Presque tous mes travaux utilisent des techniques semi-classiques, c'est-à-dire des techniques de developpement asymptotique lorsque un petit paramètre h tend vers 0. J'utilise du calcul h-pseudo-différentiel, des h-opérateurs intégraux de Fourier et des techniques microlocales. Le petit paramètre h apparaît essentiellement dans des opérateurs de Schrödinger semi-classiques. A la limite h-->0, l'opérateur d'évolution associé se comporte essentiellement comme un système dynamique hamiltonien. C'est le principe de correspondance.

Dans les prépublications 1, 2, 3 et 4, on relie différents objets de la théorie stationnaire de la diffusion (scattering) pour des molécules à leur équivalent classique dans une certaine limite semi-classique. Le paramètre semi-classique est sensé représenter un rapport de masse de particule. On valide ainsi l'approximation de Born-Oppenheimer pour des collisions moléculaires.

Dans les prépublications 2, 7, 9 et 13, on essaye de dégager la bonne mécanique classique (la limite quand h-->0) pour un opérateur de Schrödinger semi-classique à potentiel matriciel. Des difficultés apparaissent dans les techniques usuelles susnommées dont l'origine est la non-commutativité du produit de matrices. A cause des croisements des valeurs propres du potentiel, le problème est encore ouvert dans le cas général. Un approche alternative est développée dans la prépublication 8 pour le cas scalaire. Elle est ensuite appliquée avec succès au cas matriciel dans les prépublications 9 et 13. En s'inspirant encore de la prépublication 8, on procède, dans la prépublication 10, à une analyse haute fréquence de l'équation Helmholtz avec paramètre d'absorption et, dans la prépublication 12, à une analyse semi-classique de l'opérateur de Schrödinger avec des singularités coulombiennes. Dans ce dernier cas, le système dynamique hamiltonien associé naturellement à l'opérateur n'est pas complet et doit être convenablement régularisé pour obtenir un principe de correspondance.

Dans la prépublication 5, le paramètre semi-classique est la température d'un système de spins. On établit des propriétés spectrales et semi-classiques pour un Laplacien de Witten. Comme on veut obtenir des informations à la limite thermodynamique, les résultats sont uniformes par rapport à la taille du système.

Liste numérotée des prépublications