Équations aux dérivées partielles linéaires

Dans mes travaux, une équation aux dérivées partielles intervient souvent. La plupart du temps, il s'agit d'une équation d'évolution linéaire pour un opérateur de Schrödinger. La théorie des distributions, le calcul pseudo-différentiel et l'analyse microlocale sont des outils importants.

Dans les prépublications 1, 2, 3 et 4, l'opérateur de Schrödinger est un opérateur moléculaire à N corps (avec N>2). A part dans la prépublication 3, les singularités coulombiennes des potentiels ont été éliminées. Dans les prépublications 7, 9 et 13, l'opérateur de Schrödinger a un potentiel matriciel. L'équation d'évolution correspondante est donc un système d'équations d'évolution couplées. Dans ce dernier cas, bon nombre de techniques usuelles s'avèrent difficilement utilisables du fait de la non-commutativité du produit de matrices. Une approche différente, utilisant des mesures de Wigner, est suivie avec succès dans les prépublications 8 (cas scalaire régulier), 9 et 13. Dans les prépublications 10 et 12, cette dernière fonctionne aussi pour une étude à haute fréquence de l'équation Helmholtz avec paramètre d'absorption et pour l'opérateur de Schrödinger avec des singularités coulombiennes, respectivement.

Dans la prépublication 6, une équation différentielle non linéaire intervient et on étudie le comportement asymtotique des solutions quand le temps tend vers le temps d'existence de la solution. Dans la prépublication 5, l'équation aux dérivées partielles est une équation aux valeurs propres pour un Laplacien de Witten (un cas particulier d'opérateur de Schrödinger). On y utilise des techniques inspirées de la preuve du théorème de Paley-Wiener.

Dans la prépublication 14, on redémontre la régularité analytique de la densité électronique associée à une solution de carré intégrable d'une EDP linéaire de Schrödinger avec des interactions coulombiennes. Grâce à une astuce de Hunziker (1986) (voir aussi Klein-Martinez-Seiler-Wang, 1992), on se ramène à un problème de régularité elliptique pour une équation à coefficients analytiques à valeurs opérateurs que l'on traite au moyen d'un calcul pseudo-différentiel adapté.

Dans la plupart de mes travaux, des techniques pseudo-différentielles à petit paramètre interviennent. Des opérateurs intégraux de Fourier sont utilisés dans la prépublication 1. Dans les prépublications 8, 9, 10, 12 et 13, j'utilise des mesures semi-classiques qui sont aussi des mesures de Wigner.

Liste numérotée des prépublications