Théorie spectrale
Dans beaucoup de mes travaux, j'étudie des opérateurs de Schrödinger
semi-classiques (dépendant d'un certain paramètre) agissant dans un espace L^2. La théorie de Mourre permet
d'obtenir le théorème d'absorption limite qui dit essentiellement que la résolvante de l'opérateur a une limite
sur le spectre continu comme opérateur borné de B dans B*, B étant un Banach inclu dans L^2. Les prépublications
2, 7, 8, 9, 10, 12 et 13, constituent des versions à paramètres du théorème d'absorption limite. Indirectement, ces
résultats impliquent l'absence de résonances très près de l'axe réel. On rencontre cependant
des difficultés pour adapter la théorie de Mourre. Leur contournement, obtenu dans un cadre
d'opérateurs pseudodifférentiels semi-classiques, a pu être généralisé au cadre abstrait de la théorie de Mourre
dans la prépublication 11. Cette dernière propose une nouvelle approche de la théorie
de Mourre ainsi qu'une nouvelle interprétation basée sur des "suites spéciales" (sorte de suites de Weyl à poids).
Cette approche a été prolongée dans la prépublication 15, où une nouvelle théorie est présentée. Comme la théorie
de Mourre, elle fournit un théorème d'absorption limite mais coûte moins de régularité. Ainsi un opérateur de
Schrödinger avec un potentiel oscillant est traité par la nouvelle théorie alors que la théorie traditionnelle
ne s'applique pas. En ajoutant une pertubation à longue portée à cet opérateur, on obtient un théorème d'absorption
limite qui n'avait pas été obtenu autrement auparavant.